Álgebra lineal Ejemplos

Hallar los vectores propios/el espacio propio [[-2,-1,-1],[-2,-3,-2],[2,2,1]]
Paso 1
Obtén los valores propios.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica .
Paso 1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
Paso 1.3
Sustituye los valores conocidos en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Sustituye por .
Paso 1.3.2
Sustituye por .
Paso 1.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.4
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.4.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.4.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.5
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.6
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.6.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.6.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.7
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.7.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.7.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.8
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.8.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.8.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.9
Multiplica por .
Paso 1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 1.4.3
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.1
Suma y .
Paso 1.4.3.2
Suma y .
Paso 1.4.3.3
Suma y .
Paso 1.4.3.4
Suma y .
Paso 1.4.3.5
Suma y .
Paso 1.4.3.6
Suma y .
Paso 1.5
Find the determinant.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Paso 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Paso 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Paso 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Paso 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Paso 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Paso 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Paso 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Paso 1.5.1.9
Add the terms together.
Paso 1.5.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1
El determinante de una matriz puede obtenerse usando la fórmula .
Paso 1.5.2.2
Simplifica el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.2.1.1
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.2.1.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.2.1.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.2.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.2.1.2
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.2.1.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.2.1.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.2.1.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.5.2.2.1.2.1.5
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.2.1.2.1.5.1
Mueve .
Paso 1.5.2.2.1.2.1.5.2
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.2.1.6
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.2.1.7
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.2.2
Resta de .
Paso 1.5.2.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.2
Suma y .
Paso 1.5.2.2.3
Reordena y .
Paso 1.5.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.3.1
El determinante de una matriz puede obtenerse usando la fórmula .
Paso 1.5.3.2
Simplifica el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.3.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.3.2.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.3.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.5.3.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.3.2.1.4
Multiplica por .
Paso 1.5.3.2.2
Suma y .
Paso 1.5.4
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.1
El determinante de una matriz puede obtenerse usando la fórmula .
Paso 1.5.4.2
Simplifica el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.4.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.4
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.2
Suma y .
Paso 1.5.4.2.3
Reordena y .
Paso 1.5.5
Simplifica el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.1
Combina los términos opuestos en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.1.1
Resta de .
Paso 1.5.5.1.2
Suma y .
Paso 1.5.5.2
Expande mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.
Paso 1.5.5.3
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.3.1
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.2
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.3
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.3.3.1
Mueve .
Paso 1.5.5.3.3.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.3.3.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.5.5.3.3.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.5.5.3.3.3
Suma y .
Paso 1.5.5.3.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.5.5.3.5
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.3.5.1
Mueve .
Paso 1.5.5.3.5.2
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.6
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.7
Multiplica por .
Paso 1.5.5.4
Resta de .
Paso 1.5.5.5
Resta de .
Paso 1.5.5.6
Mueve .
Paso 1.5.5.7
Mueve .
Paso 1.5.5.8
Reordena y .
Paso 1.6
Establece el polinomio característico igual a para obtener los valores propios .
Paso 1.7
Resuelve
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.1
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.1.1
Factoriza de .
Paso 1.7.1.1.2
Factoriza de .
Paso 1.7.1.1.3
Factoriza de .
Paso 1.7.1.1.4
Reescribe como .
Paso 1.7.1.1.5
Factoriza de .
Paso 1.7.1.1.6
Factoriza de .
Paso 1.7.1.1.7
Factoriza de .
Paso 1.7.1.2
Factoriza mediante la prueba de raíces racionales.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.2.1
Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma , donde es un factor de la constante y es un factor del coeficiente principal.
Paso 1.7.1.2.2
Obtén todas las combinaciones de . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.
Paso 1.7.1.2.3
Sustituye y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a , por lo que es una raíz del polinomio.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.2.3.1
Sustituye en el polinomio.
Paso 1.7.1.2.3.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.7.1.2.3.3
Eleva a la potencia de .
Paso 1.7.1.2.3.4
Multiplica por .
Paso 1.7.1.2.3.5
Suma y .
Paso 1.7.1.2.3.6
Multiplica por .
Paso 1.7.1.2.3.7
Resta de .
Paso 1.7.1.2.3.8
Suma y .
Paso 1.7.1.2.4
Como es una raíz conocida, divide el polinomio por para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.
Paso 1.7.1.2.5
Divide por .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.2.5.1
Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de .
++++
Paso 1.7.1.2.5.2
Divide el término de mayor orden en el dividendo por el término de mayor orden en el divisor .
++++
Paso 1.7.1.2.5.3
Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.
++++
++
Paso 1.7.1.2.5.4
La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en .
++++
--
Paso 1.7.1.2.5.5
Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.
++++
--
+
Paso 1.7.1.2.5.6
Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.
++++
--
++
Paso 1.7.1.2.5.7
Divide el término de mayor orden en el dividendo por el término de mayor orden en el divisor .
+
++++
--
++
Paso 1.7.1.2.5.8
Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.
+
++++
--
++
++
Paso 1.7.1.2.5.9
La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en .
+
++++
--
++
--
Paso 1.7.1.2.5.10
Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.
+
++++
--
++
--
+
Paso 1.7.1.2.5.11
Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.
+
++++
--
++
--
++
Paso 1.7.1.2.5.12
Divide el término de mayor orden en el dividendo por el término de mayor orden en el divisor .
++
++++
--
++
--
++
Paso 1.7.1.2.5.13
Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.
++
++++
--
++
--
++
++
Paso 1.7.1.2.5.14
La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en .
++
++++
--
++
--
++
--
Paso 1.7.1.2.5.15
Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.
++
++++
--
++
--
++
--
Paso 1.7.1.2.5.16
Como el resto es , la respuesta final es el cociente.
Paso 1.7.1.2.6
Escribe como un conjunto de factores.
Paso 1.7.1.3
Factoriza con el método AC.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.3.1
Factoriza con el método AC.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.3.1.1
Considera la forma . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea y cuya suma sea . En este caso, cuyo producto es y cuya suma es .
Paso 1.7.1.3.1.2
Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.
Paso 1.7.1.3.2
Elimina los paréntesis innecesarios.
Paso 1.7.1.4
Factoriza.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.4.1
Combina factores semejantes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.4.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.7.1.4.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.7.1.4.1.3
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.7.1.4.1.4
Suma y .
Paso 1.7.1.4.2
Elimina los paréntesis innecesarios.
Paso 1.7.2
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 1.7.3
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.3.1
Establece igual a .
Paso 1.7.3.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.3.2.1
Establece igual a .
Paso 1.7.3.2.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 1.7.4
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.4.1
Establece igual a .
Paso 1.7.4.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 1.7.5
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Paso 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 3.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1
Suma los elementos correspondientes.
Paso 3.2.2
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.2.1
Suma y .
Paso 3.2.2.2
Suma y .
Paso 3.2.2.3
Suma y .
Paso 3.2.2.4
Suma y .
Paso 3.2.2.5
Suma y .
Paso 3.2.2.6
Suma y .
Paso 3.2.2.7
Suma y .
Paso 3.2.2.8
Suma y .
Paso 3.2.2.9
Suma y .
Paso 3.3
Find the null space when .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 3.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 3.3.2.1.2
Simplifica .
Paso 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 3.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 3.3.2.3.2
Simplifica .
Paso 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 3.3.6
Write as a solution set.
Paso 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 4.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 4.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1.2.1
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.2
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.3
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.4
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.5
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.6
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.7
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.8
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.9
Multiplica por .
Paso 4.2.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 4.2.3
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.1
Suma y .
Paso 4.2.3.2
Suma y .
Paso 4.2.3.3
Suma y .
Paso 4.2.3.4
Suma y .
Paso 4.2.3.5
Suma y .
Paso 4.2.3.6
Suma y .
Paso 4.2.3.7
Suma y .
Paso 4.2.3.8
Suma y .
Paso 4.2.3.9
Suma y .
Paso 4.3
Find the null space when .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 4.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
Paso 4.3.2.2
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 4.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.3.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 4.3.2.4.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.5.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.6.2
Simplifica .
Paso 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 4.3.6
Write as a solution set.
Paso 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.